Рейтинг Эло в футболе, модель Пуассона и xG: как математика прогнозирует матчи

Рейтинг Эло в футболе оценивает общую силу команды одним числом и по разнице рейтингов даёт вероятность результата. Распределение Пуассона превращает ожидаемое число голов каждой команды в вероятности любого счёта, а значит — исходов, тоталов и «обе забьют». xG (ожидаемые голы) чаще всего служит входом: по нему точнее, чем по голам, оценивают атаку и оборону команд. Большинство математических моделей прогноза футбольных матчей — это сочетание этих трёх идей. Ниже — как работает каждая, на простых примерах.

Рейтинг Эло в футболе: сила команды одним числом

Система Эло пришла из шахмат. У каждой команды есть рейтинг; после матча победитель забирает часть очков у проигравшего. Сколько именно — зависит от того, насколько результат был неожиданным: победа фаворита почти не меняет рейтинги, победа аутсайдера меняет их заметно.

Ожидаемый результат команды A против команды B считается по разнице рейтингов:

E = 1 / (1 + 10^((Rb − Ra) / 400))

При разнице в 100 очков в пользу A получается около 0.64, при разнице в 200 — около 0.76. Это «ожидаемая доля очков»: победа считается за 1, ничья — за 0.5. После матча рейтинг меняется на K × (результат − E), где K — коэффициент, который определяет, насколько быстро рейтинг реагирует на новые матчи.

Футбольные версии Эло обычно добавляют:

• преимущество своего поля — к рейтингу хозяев прибавляют фиксированную поправку;
• учёт разницы мячей — победа 4:0 сдвигает рейтинг сильнее, чем 1:0;
• разный K для турниров разной важности.

Сильные стороны: одно понятное число, простая формула, рейтинг сам «забывает» старые матчи. Слабые стороны: Эло не знает про голы и стиль, ничью приходится выводить отдельно, а рынки вроде тоталов или «обе забьют» из одного рейтинга не получить.

Распределение Пуассона в футболе: от ожидаемых голов к счёту

Голы в футболе — редкие события, и количество голов одной команды за матч хорошо описывается распределением Пуассона. Если знать ожидаемое число голов команды λ, вероятность, что она забьёт ровно k голов, равна:

P(k) = λ^k × e^(−λ) / k!

Пример: модель ожидает, что хозяева забьют 1.5 гола, а гости — 1.0. Если считать голы команд независимыми, вероятность счёта — произведение двух вероятностей:

Сложив вероятности всех счетов, получаем исходы: победа хозяев ≈ 48.7%, ничья ≈ 26.0%, победа гостей ≈ 25.2%. Из той же сетки считаются тотал больше 2.5 (≈ 45.6%) и «обе забьют» (≈ 49.1%). В этом главное достоинство: модель Пуассона даёт прогноз счёта и из того же расчёта — вероятности сразу для всех рынков на голы, которые поэтому согласованы между собой. Подставить свои ожидаемые голы и получить такую сетку можно в калькуляторе Пуассона.

Слабые стороны: голы команд в реальности не совсем независимы — по ходу матча счёт меняет тактику. Простая модель Пуассона обычно немного ошибается в частоте ничьих и малых счетов, поэтому её часто дополняют поправками (самая известная — поправка Диксона — Коулза для счетов 0:0, 1:0, 0:1 и 1:1). И всё упирается в главное: откуда взять λ.

Где здесь xG: прогноз матча по качеству моментов

Ожидаемые голы для модели Пуассона можно оценивать по забитым голам, но голы шумные: пара удачных рикошетов искажает картину на несколько туров. xG оценивает качество каждого удара, поэтому рейтинги атаки и обороны, построенные на xG, стабильнее и быстрее отражают реальный уровень команды.

Типичная схема прогноза матча по xG выглядит так:

1. Для каждой команды считают рейтинг атаки (сколько xG она создаёт относительно среднего по лиге) и рейтинг обороны (сколько xG она позволяет создать сопернику).
2. Ожидаемые голы хозяев = средний уровень лиги дома × атака хозяев × слабость обороны гостей; для гостей — зеркально.
3. Полученные λ подставляют в распределение Пуассона и получают вероятности счетов и исходов.

Эло или xG — не выбор «или — или». Эло хорошо описывает общую силу и легко обновляется, xG — качество игры в атаке и обороне. Многие модели используют рейтинг силы для общей картины, а xG и Пуассон — для голевых рынков.

Почему ни одна модель не даёт гарантий

У любой модели есть общие ограничения:

• данные отстают от реальности — модель не знает про травму, случившуюся на тренировке накануне, пока это не попало в составы;
• мало матчей в начале сезона и после смены тренера — рейтинги ещё не успели подстроиться;
• случайность в футболе велика — даже точная вероятность 60% означает, что в четырёх случаях из десяти исход будет другим.

Поэтому модель проверяют не по одному матчу, а на длинной истории: насколько часто сбываются прогнозы с вероятностью около 60%, около 70% и так далее. Как это делать и почему процент угаданных прогнозов сам по себе мало говорит — в статье как проверять точность прогнозов. Ещё один ориентир — рынок: вероятность из коэффициента без маржи — это коллективная оценка, с которой полезно сравнивать любую модель.

Как устроена модель xG.Football

Модель xG.Football не является рейтингом Эло и не строит прогноз чистым распределением Пуассона. Для основного прогноза на исход она сравнивает команды по пяти статистическим критериям — общая форма, форма дома и в гостях, ожидаемый голевой потенциал, средняя разница мячей и личные встречи — и показывает откалиброванную вероятность: как часто прогнозы с таким же набором сигналов сбывались раньше. Подробнее — в статье как устроена модель xG.Football. Каждый прогноз сохраняется до начала матча, а история открыта на странице статистика прогнозов. Вероятности на ближайшие игры собраны в разделе прогнозы на футбол.

Коротко о главном