Рейтинг Ело у футболі, модель Пуассона та xG: як математика прогнозує матчі

Рейтинг Ело у футболі оцінює загальну силу команди одним числом і за різницею рейтингів дає ймовірність результату. Розподіл Пуассона перетворює очікувану кількість голів кожної команди на ймовірності будь-якого рахунку, а отже — результатів, тоталів і «обидві заб'ють». xG (очікувані голи) найчастіше слугує входом: за ним точніше, ніж за голами, оцінюють атаку та оборону команд. Більшість математичних моделей прогнозу футбольних матчів — це поєднання цих трьох ідей. Нижче — як працює кожна з них, на простих прикладах.

Рейтинг Ело у футболі: сила команди одним числом

Система Ело прийшла з шахмат. Кожна команда має рейтинг; після матчу переможець забирає частину очок у переможеного. Скільки саме — залежить від того, наскільки результат був несподіванкою: перемога фаворита майже не змінює рейтинги, перемога аутсайдера змінює їх помітно.

Очікуваний результат команди A проти команди B розраховується за різницею рейтингів:

E = 1 / (1 + 10^((Rb − Ra) / 400))

При різниці в 100 очок на користь A виходить близько 0.64, при різниці в 200 — близько 0.76. Це «очікувана частка очок»: перемога рахується за 1, нічия — за 0.5. Після матчу рейтинг змінюється на K × (результат − E), де K — коефіцієнт, який визначає, наскільки швидко рейтинг реагує на нові матчі.

Футбольні версії Ело зазвичай додають:

• перевагу свого поля — до рейтингу господарів додають фіксовану поправку;
• врахування різниці м'ячів — перемога 4:0 зсуває рейтинг сильніше, ніж 1:0;
• різний K для турнірів різної важливості.

Сильні сторони: одне зрозуміле число, проста формула, рейтинг сам «забуває» старі матчі. Слабкі сторони: Ело не знає про голи та стиль, нічию доводиться виводити окремо, а ринки на кшталт тоталів чи «обидві заб'ють» з одного рейтингу не отримати.

Розподіл Пуассона у футболі: від очікуваних голів до рахунку

Голи у футболі — рідкісні події, і кількість голів однієї команди за матч добре описується розподілом Пуассона. Якщо знати очікувану кількість голів команди λ, ймовірність того, що вона заб'є рівно k голів, дорівнює:

P(k) = λ^k × e^(−λ) / k!

Приклад: модель очікує, що господарі заб'ють 1.5 гола, а гості — 1.0. Якщо вважати голи команд незалежними, ймовірність рахунку — добуток двох імовірностей:

Додавши ймовірності всіх рахунків, отримуємо результати: перемога господарів ≈ 48.7%, нічия ≈ 26.0%, перемога гостей ≈ 25.2%. З тієї самої сітки рахуються тотал більше 2.5 (≈ 45.6%) та «обидві заб'ють» (≈ 49.1%). У цьому головна перевага: модель Пуассона дає прогноз рахунку і з того ж розрахунку — ймовірності одразу для всіх ринків на голи, які тому узгоджені між собою. Підставити свої очікувані голи та отримати таку сітку можна в калькуляторі Пуассона.

Слабкі сторони: голи команд у реальності не зовсім незалежні — під час матчу рахунок змінює тактику. Проста модель Пуассона зазвичай трохи помиляється в частоті нічиїх і малих рахунків, тому її часто доповнюють поправками (найвідоміша — поправка Діксона — Коулза для рахунків 0:0, 1:0, 0:1 та 1:1). І все впирається в головне: звідки взяти λ.

Де тут xG: прогноз матчу за якістю моментів

Очікувані голи для моделі Пуассона можна оцінювати за забитими голами, але голи шумні: пара вдачних рикошетів спотворює картину на кілька турів. xG оцінює якість кожного удару, тому рейтинги атаки та оборони, побудовані на xG, є стабільнішими та швидше відображають реальний рівень команди.

Типова схема прогнозу матчу за xG виглядає так:

1. Для кожної команди рахують рейтинг атаки (скільки xG вона створює відносно середнього по лізі) та рейтинг оборони (скільки xG вона дозволяє створити супернику).
2. Очікувані голи господарів = середній рівень ліги вдома × атака господарів × слабкість оборони гостей; для гостей — дзеркально.
3. Отримані λ підставляють у розподіл Пуассона та отримують ймовірності рахунків і результатів.

Ело чи xG — не вибір «або — або». Ело добре описує загальну силу та легко оновлюється, xG — якість гри в атаці та обороні. Багато моделей використовують рейтинг сили для загальної картини, а xG і Пуассона — для гольових ринків.

Чому жодна модель не дає гарантій

Будь-яка модель має загальні обмеження:

• дані відстають від реальності — модель не знає про травму, що сталася на тренуванні напередодні, поки це не потрапило до складу;
• мало матчів на початку сезону та після зміни тренера — рейтинги ще не встигли підлаштуватися;
• випадковість у футболі велика — навіть точна ймовірність 60% означає, що в чотирьох випадках із десяти результат буде іншим.

Тому модель перевіряють не за одним матчем, а на довгій історії: наскільки часто справджуються прогнози з імовірністю близько 60%, близько 70% і так далі. Як це робити і чому відсоток вгаданих прогнозів сам по собі мало про що говорить — у статті як перевіряти точність прогнозів. Ще один орієнтир — ринок: ймовірність із коефіцієнта без маржі — це колективна оцінка, з якою корисно порівнювати будь-яку модель.

Як влаштована модель xG.Football

Модель xG.Football не є рейтингом Ело і не будує прогноз чистим розподілом Пуассона. Для основного прогнозу на результат вона порівнює команди за п'ятьма статистичними критеріями — загальна форма, форма вдома та в гостях, очікуваний гольовий потенціал, середня різниця м'ячів та особисті зустрічі — і показує відкалібровану ймовірність: як часто прогнози з таким самим набором сигналів справджувалися раніше. Детальніше — у статті як влаштована модель xG.Football. Кожен прогноз зберігається до початку матчу, а історія відкрита на сторінці статистика прогнозів. Ймовірності на найближчі ігри зібрані в розділі прогнози на футбол.

Коротко про головне