Критерий Келли в ставках: формула, пример расчёта и дробный Келли

Критерий Келли — это формула, которая отвечает на вопрос «какую долю банка поставить», если известны вероятность исхода и коэффициент. Она выбирает такой размер ставки, при котором банк на длинной дистанции растёт быстрее всего, и говорит не ставить вовсе, если у ставки нет положительного матожидания. Критерий Келли в ставках популярен потому, что связывает размер ставки с преимуществом: чем больше перевес, тем крупнее ставка.

Важно с самого начала: ставки связаны с риском потери денег, а формула ничего не знает о реальной вероятности — она верит той, которую вы в неё подставили. Посчитать долю банка для своих чисел можно в калькуляторе ниже; он же доступен отдельной страницей — калькулятор Келли.

Формула Келли

Для ставки с десятичным коэффициентом формула выглядит так:

доля банка = (p × k − 1) / (k − 1)

Здесь p — ваша вероятность выигрыша, k — коэффициент. Числитель p × k − 1 — это матожидание ставки на единицу суммы: сколько в среднем возвращает каждый поставленный рубль сверх самого рубля. Знаменатель k − 1 — чистый выигрыш на единицу ставки.

Пример. Вы оцениваете вероятность исхода в 55%, а букмекер даёт коэффициент 2.00. Матожидание: 0,55 × 2,00 − 1 = +0,10, то есть +10% на ставку. Доля банка: 0,10 / 1 = 10%. При банке 1000 полный Келли предлагает поставить 100.

Второй пример. Вероятность 45%, коэффициент 2.50. Матожидание: 0,45 × 2,50 − 1 = +0,125. Доля банка: 0,125 / 1,5 ≈ 8,3%. Коэффициент выше, но и вероятность ниже, поэтому доля получилась меньше, чем в первом примере.

Если числитель равен нулю или отрицательный, формула даёт ноль: при такой оценке ставка в среднем теряет деньги, и Келли советует её не делать. Это и есть главное условие — без положительного матожидания никакой размер ставки не поможет. Что такое положительное матожидание и как его искать, разобрано в статье про валуйные ставки.

Откуда брать p? Это ваша собственная оценка шанса. Её полезно сравнить с вероятностью, которую закладывает букмекер (1 / k, плюс поправка на маржу), и с независимой оценкой — например, с расчётными вероятностями в разделе прогнозы на матчи. Но любая из этих цифр — тоже оценка, а не знание.

Почему Келли растит банк быстрее всего

Келли максимизирует не средний выигрыш одной ставки, а скорость роста банка при многократных ставках, когда каждая следующая считается от текущего банка. Чтобы увидеть, как это работает, возьмём первый пример — вероятность 55% при коэффициенте 2.00 — и посчитаем типичный результат через 100 ставок для разных долей банка. Типичный — значит при обычном для такой вероятности соотношении выигрышей и проигрышей.

Видно две вещи. Больше Келли — не значит быстрее: при ставке вдвое крупнее расчётной банк перестаёт расти, хотя преимущество реальное. Меньше Келли — медленнее, но ненамного: половина Келли сохраняет около трёх четвертей скорости роста.

Главная слабость: вероятность известна неточно

Вся формула держится на p. В примерах выше вероятность считалась известной точно, но в ставках так не бывает. Модели, статистика и интуиция дают оценку с ошибкой в несколько процентных пунктов, и эта ошибка редко бывает в вашу пользу: кажущиеся «очевидными» ставки чаще переоценены, чем недооценены.

Посмотрим, что будет, если вы считаете вероятность равной 55%, а на самом деле она 50%. При коэффициенте 2.00 реального преимущества нет, но вы ставите по полному Келли 10% банка. Типичный банк через 100 ставок — около ×0,6, то есть минус 40%. Если бы вы ставили четверть Келли, 2,5% банка, типичный результат был бы около ×0,97 — минус 3%. Одна и та же ошибка в пять пунктов стоит в первом случае почти половину банка, во втором — несколько процентов.

Калькулятор в статье показывает это сразу: под таблицей написано, какой была бы правильная доля при вероятности на 5 п.п. ниже вашей. Для примера с 55% и коэффициентом 2.00 ответ — ноль.

Дробный Келли: половина и четверть

Поэтому на практике полный Келли почти не используют. Дробный Келли — это та же формула, результат которой делится на 2 (половина Келли) или на 4 (четверть Келли).

• Половина Келли даёт около 75% скорости роста полного Келли при вдвое меньших колебаниях банка. Ошибка в оценке вероятности обходится заметно дешевле.
• Четверть Келли растит банк медленнее, но почти не страдает от умеренной переоценки вероятности и переживает долгие серии проигрышей.

Хорошее правило: чем меньше вы доверяете своей оценке вероятности, тем меньшую долю Келли берёте. Если преимущество не подтверждено журналом из сотен ставок, разумнее вообще не опираться на формулу и ставить фиксированную небольшую долю банка — флэт в 1–2%, как описано в статье про управление банкроллом.

Стратегия Келли на практике

Если вы всё же используете стратегию Келли, держите в голове несколько деталей:

1. Считайте от текущего банка. Келли предполагает, что после выигрыша ставки растут, а после проигрыша уменьшаются. Ставить долю от стартового банка — уже другая система.
2. Одновременные ставки делят банк. Если в один вечер у вас пять ставок, сумма их долей не должна превращаться в половину банка. Разумно уменьшить каждую.
3. Не повышайте долю, чтобы отыграться. После проигрыша банк меньше, и ставка по Келли тоже должна стать меньше.
4. Записывайте вероятность, которую подставили. Через сотню ставок журнал покажет, были ли ваши 55% на самом деле 55%.
5. Ноль — это ответ. Если формула даёт ноль, ставки нет, даже если матч кажется интересным.

Коротко о главном

Критерий Келли переводит преимущество в размер ставки: доля банка равна (p × k − 1) / (k − 1). Он растит банк быстрее любой другой доли, но только при точно известной вероятности. Поскольку оценка всегда приблизительна, на практике берут половину или четверть Келли, а без проверенного преимущества ставят небольшим флэтом.