Критерій Келлі у ставках: формула, приклад розрахунку та дробовий Келлі

Критерій Келлі — це формула, яка відповідає на запитання «яку частку банку ставити», якщо відомі ймовірність результату та коефіцієнт. Вона вибирає такий розмір ставки, за якого банк на довгій дистанції зростає найшвидше, і говорить не ставити зовсім, якщо у ставки немає позитивного матсподівання. Критерій Келлі у ставках популярний тому, що пов'язує розмір ставки з перевагою: що більший перевес, то більша ставка.

Важливо з самого початку: ставки пов'язані з ризиком втрати грошей, а формула нічого не знає про реальну ймовірність — вона вірить тій, яку ви в неї підставили. Порахувати частку банку для своїх чисел можна в калькуляторі нижче; він же доступний окремою сторінкою — калькулятор Келлі.

Формула Келлі

Для ставки з десятковим коефіцієнтом формула виглядає так:

частка банку = (p × k − 1) / (k − 1)

Тут p — ваша ймовірність виграшу, k — коефіцієнт. Чисельник p × k − 1 — це матсподівання ставки на одиницю суми: скільки в середньому повертає кожен поставлений рубль понад самого рубля. Знаменник k − 1 — чистий виграш на одиницю ставки.

Приклад. Ви оцінюєте ймовірність результату в 55%, а букмекер дає коефіцієнт 2.00. Матсподівання: 0,55 × 2,00 − 1 = +0,10, тобто +10% на ставку. Частка банку: 0,10 / 1 = 10%. За банку 1000 повний Келлі пропонує поставити 100.

Другий приклад. Ймовірність 45%, коефіцієнт 2.50. Матсподівання: 0,45 × 2,50 − 1 = +0,125. Частка банку: 0,125 / 1,5 ≈ 8,3%. Коефіцієнт вищий, але й ймовірність нижча, тому частка вийшла меншою, ніж у першому прикладі.

Якщо чисельник дорівнює нулю або від'ємний, формула дає нуль: за такої оцінки ставка в середньому втрачає гроші, і Келлі радить її не робити. Це і є головна умова — без позитивного матсподівання жоден розмір ставки не допоможе. Що таке позитивне матсподівання і як його шукати, розібрано в статті про валуйні ставки.

Звідки брати p? Це ваша власна оцінка шансу. Її корисно порівняти з імовірністю, яку закладає букмекер (1 / k, плюс поправка на маржу), і з незалежною оцінкою — наприклад, з розрахунковими ймовірностями в розділі прогнози на матчі. Але будь-яка з цих цифр — теж оцінка, а не знання.

Чому Келлі ростить банк найшвидше

Келлі максимізує не середній виграш однієї ставки, а швидкість росту банку при багаторазових ставках, коли кожна наступна вважається від поточного банку. Щоб побачити, як це працює, візьмемо перший приклад — ймовірність 55% за коефіцієнта 2.00 — і порахуємо типовий результат через 100 ставок для різних часток банку. Типовий — означає за звичайного для такої ймовірності співвідношення виграшів і програшів.

Видно дві речі. Більше Келлі — не означає швидше: за ставки вдвічі більшої за розрахункову банк перестає рости, хоча перевага реальна. Менше Келлі — повільніше, але ненабагато: половина Келлі зберігає близько трьох чвертей швидкості росту.

Головна слабкість: ймовірність відома неточно

Вся формула тримається на p. У прикладах вище ймовірність вважалася відомою точно, але в ставках так не буває. Моделі, статистика та інтуїція дають оцінку з помилкою в кілька процентних пунктів, і ця помилка рідко буває на вашу користь: ставки, що здаються «очевидними», частіше переоцінені, ніж недооцінені.

Подивимося, що буде, якщо ви вважаєте ймовірність рівною 55%, а насправді вона 50%. За коефіцієнта 2.00 реальної переваги немає, але ви ставите за повним Келлі 10% банку. Типовий банк через 100 ставок — близько ×0,6, тобто мінус 40%. Якби ви ставили чверть Келлі, 2,5% банку, типовий результат був би близько ×0,97 — мінус 3%. Одна й та сама помилка у п'ять пунктів коштує в першому випадку майже половину банку, у другому — кілька відсотків.

Калькулятор у статті показує це відразу: під таблицею написано, якою була б правильна частка за ймовірності на 5 п.п. нижчої за вашу. Для прикладу з 55% і коефіцієнтом 2.00 відповідь — нуль.

Дробовий Келлі: половина і чверть

Тому на практиці повний Келлі майже не використовують. Дробовий Келлі — це та сама формула, результат якої ділиться на 2 (половина Келлі) або на 4 (чверть Келлі).

• Половина Келлі дає близько 75% швидкості росту повного Келлі за вдвічі менших коливань банку. Помилка в оцінці ймовірності обходиться помітно дешевше.
• Чверть Келлі ростить банк повільніше, але майже не страждає від помірної переоцінки ймовірності і переживає довгі серії програшів.

Хороше правило: що менше ви довіряєте своїй оцінці ймовірності, то меншу частку Келлі берете. Якщо перевага не підтверджена журналом із сотень ставок, розумніше взагалі не спиратися на формулу і ставити фіксовану невелику частку банку — флет у 1–2%, як описано в статті про управління банкроллом.

Стратегія Келлі на практиці

Якщо ви все ж використовуєте стратегію Келлі, тримайте в голові кілька деталей:

1. Рахуйте від поточного банку. Келлі припускає, що після виграшу ставки ростуть, а після програшу зменшуються. Ставити частку від стартового банку — вже інша система.
2. Одночасні ставки ділять банк. Якщо в один вечір у вас п'ять ставок, сума їхніх часток не повинна перетворюватися на половину банку. Розумно зменшити кожну.
3. Не підвищуйте частку, щоб відігратися. Після програшу банк менший, і ставка за Келлі теж має стати меншою.
4. Записуйте ймовірність, яку підставили. Через сотню ставок журнал покаже, чи були ваші 55% насправді 55%.
5. Нуль — це відповідь. Якщо формула дає нуль, ставки немає, навіть якщо матч здається цікавим.

Коротко про головне

Критерій Келлі переводить перевагу в розмір ставки: частка банку дорівнює (p × k − 1) / (k − 1). Він ростить банк швидше за будь-яку іншу частку, але тільки за точно відомої ймовірності. Оскільки оцінка завжди приблизна, на практиці беруть половину або чверть Келлі, а без перевіреної переваги ставлять невеликим флетом.