Le critère de Kelly dans les paris : formule, exemple de calcul et Kelly fractionnaire

Le critère de Kelly est une formule qui répond à la question « quelle part de la bankroll miser », si la probabilité du résultat et la cote sont connues. Il sélectionne la taille de mise à laquelle la bankroll croît le plus rapidement sur le long terme, et indique de ne rien miser du tout si le pari n'a pas d'espérance mathématique positive. Le critère de Kelly est populaire dans les paris car il lie la taille de la mise à l'avantage : plus l'avantage est grand, plus le pari est important.

Il est important de le noter dès le début : les paris comportent un risque de perte d'argent, et la formule ne connaît pas la probabilité réelle — elle croit en celle que vous y avez insérée. Vous pouvez calculer la part de la bankroll pour vos propres chiffres dans le calculateur ci-dessous ; il est également disponible sur une page séparée — le calculateur de Kelly.

La formule de Kelly

Pour un pari avec une cote décimale, la formule ressemble à ceci :

part de la bankroll = (p × k − 1) / (k − 1)

Ici, p est votre probabilité de gain, et k est la cote. Le numérateur p × k − 1 est l'espérance mathématique du pari par unité de montant : combien chaque rouble misé rapporte en moyenne au-delà du rouble lui-même. Le dénominateur k − 1 est le gain net par unité de mise.

Exemple. Vous estimez la probabilité du résultat à 55 %, et le bookmaker donne une cote de 2.00. Espérance mathématique : 0,55 × 2,00 − 1 = +0,10, c'est-à-dire +10 % par pari. Part de la bankroll : 0,10 / 1 = 10 %. Avec une bankroll de 1000, le Kelly complet propose de miser 100.

Deuxième exemple. Probabilité de 45 %, cote de 2.50. Espérance mathématique : 0,45 × 2,50 − 1 = +0,125. Part de la bankroll : 0,125 / 1,5 ≈ 8,3 %. La cote est plus élevée, mais la probabilité est également plus faible, donc la part s'est avérée plus petite que dans le premier exemple.

Si le numérateur est nul ou négatif, la formule donne zéro : avec une telle estimation, le pari perd de l'argent en moyenne, et Kelly conseille de ne pas le faire. C'est la condition principale — sans espérance mathématique positive, aucune taille de mise n'aidera. Ce qu'est l'espérance mathématique positive et comment la chercher est analysé dans l'article sur les paris de valeur.

D'où vient le p ? C'est votre propre estimation de la chance. Il est utile de la comparer avec la probabilité que le bookmaker intègre (1 / k, plus un ajustement pour la marge), et avec une estimation indépendante — par exemple, avec les probabilités calculées dans la section pronostics de matchs. Mais chacun de ces chiffres est également une estimation, et non un savoir.

Pourquoi Kelly fait croître la bankroll le plus rapidement

Kelly ne maximise pas le gain moyen d'un seul pari, mais la vitesse de croissance de la bankroll lors de paris répétés, où chaque pari suivant est calculé à partir de la bankroll actuelle. Pour voir comment cela fonctionne, prenons le premier exemple — une probabilité de 55 % avec une cote de 2.00 — et calculons le résultat typique après 100 paris pour différentes parts de bankroll. Typique signifie avec un rapport de gains et de pertes habituel pour une telle probabilité.

Deux choses sont visibles. Plus de Kelly ne signifie pas plus rapidement : avec un pari deux fois plus grand que calculé, la bankroll cesse de croître, bien que l'avantage soit réel. Moins de Kelly est plus lent, mais pas de beaucoup : la moitié de Kelly conserve environ les trois quarts de la vitesse de croissance.

Le principal point faible : la probabilité est connue de manière imprécise

L'ensemble de la formule repose sur p. Dans les exemples ci-dessus, la probabilité était considérée comme connue avec exactitude, mais dans les paris, ce n'est jamais le cas. Les modèles, les statistiques et l'intuition donnent une estimation avec une erreur de quelques points de pourcentage, et cette erreur joue rarement en votre faveur : les paris qui semblent « évidents » sont plus souvent surévalués que sous-évalués.

Voyons ce qui se passe si vous estimez que la probabilité est de 55 %, alors qu'en réalité elle est de 50 %. À une cote de 2.00, il n'y a pas d'avantage réel, mais vous misez 10 % de la bankroll selon le Kelly complet. La bankroll typique après 100 paris est d'environ ×0,6, c'est-à-dire moins 40 %. Si vous aviez misé un quart de Kelly, soit 2,5 % de la bankroll, le résultat typique aurait été d'environ ×0,97 — moins 3 %. La même erreur de cinq points coûte dans le premier cas près de la moitié de la bankroll, et dans le second, quelques pour cent.

Le calculateur de l'article montre cela immédiatement : sous le tableau, il est indiqué quelle aurait été la bonne part si la probabilité était inférieure de 5 p.p. à la vôtre. Pour l'exemple avec 55 % et une cote de 2.00, la réponse est zéro.

Kelly fractionnaire : moitié et quart

C'est pourquoi dans la pratique, le Kelly complet est presque inutilisé. Le Kelly fractionnaire est la même formule, dont le résultat est divisé par 2 (moitié de Kelly) ou par 4 (quart de Kelly).

• La moitié de Kelly donne environ 75 % de la vitesse de croissance du Kelly complet pour des fluctuations de bankroll deux fois moins importantes. Une erreur dans l'estimation de la probabilité coûte nettement moins cher.
• Le quart de Kelly fait croître la bankroll plus lentement, mais souffre presque pas d'une surévaluation modérée de la probabilité et survit à de longues séries de défaites.

Une bonne règle : moins vous faites confiance à votre estimation de la probabilité, plus vous prenez une petite fraction de Kelly. Si l'avantage n'est pas confirmé par un journal de centaines de paris, il est plus sage de ne pas s'appuyer du tout sur la formule et de miser une petite part fixe de la bankroll — un flat de 1 à 2 %, comme décrit dans l'article sur la gestion de bankroll.

La stratégie de Kelly en pratique

Si vous utilisez tout de même la stratégie de Kelly, gardez quelques détails à l'esprit :

1. Calculez à partir de la bankroll actuelle. Kelly suppose qu'après un gain, les paris augmentent, et qu'après une perte, ils diminuent. Miser une part de la bankroll de départ est déjà un autre système.
2. Les paris simultanés partagent la bankroll. Si un soir vous avez cinq paris, la somme de leurs parts ne doit pas se transformer en la moitié de la bankroll. Il est raisonnable de réduire chacune d'elles.
3. N'augmentez pas la part pour vous refaire. Après une perte, la bankroll est plus petite, et le pari selon Kelly doit également devenir plus petit.
4. Notez la probabilité que vous avez insérée. Après une centaine de paris, le journal montrait si vos 55 % étaient réellement de 55 %.
5. Zéro est une réponse. Si la formule donne zéro, il n'y a pas de pari, même si le match semble intéressant.

En bref

Le critère de Kelly traduit l'avantage en taille de mise : la part de bankroll est égale à (p × k − 1) / (k − 1). Il fait croître la bankroll plus rapidement que toute autre part, mais seulement avec une probabilité connue avec exactitude. L'estimation étant toujours approximative, on prend en pratique la moitié ou le quart de Kelly, et sans avantage prouvé, on mise avec un petit flat.